Question

选修4-2　矩阵与变换
已知矩阵M=

a 1 c 0

的一个特征根为-1，属于它的一个特征向量

1 -3

．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x²+y²=1经过矩阵M所对应的变换得到曲线C，求曲线C的方程．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,变换、矩阵的相等

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，即可确定矩阵M；
（2）设曲线C上任意一点P（x₀，y₀），根据矩阵变换的公式求出对应的点P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，将点P的坐标代入曲线C方程，化简即得曲线C'的方程．

解答： 解：（1）由题意，

a 1 c 0

1 -3

=-

1 -3

，
∴

a-3=-1 c=3

，
∴a=2，c=3，
∴M=

2 1 3 0

；
（2）设P（x₀，y₀）是曲线C：x²+y²=1上任意一点，
则点P（x₀，y₀）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）
则有

x y

=

2 1 3 0

x0 y0

，即

x0= 1 2 x- 1 6 y y0= 1 3 y

又∵点P在曲线C：x²+y²=1上，
∴9x²-6xy+5y²=36，即曲线C'的方程为椭圆9x²-6xy+5y²=36．

点评：本题主要考查矩阵乘法与变换，考查了曲线方程的求法等基本知识，考查运算求解能力，