Question

已知矩阵A=

1 2 -2 -3

，B=

0 1 1 -2

．
（Ⅰ）求A^-1以及满足AX=B的矩阵X．
（Ⅱ）求曲线C：x²-4xy+y²=1在矩阵B所对应的线性变换作用下得到的曲线C′的方程．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等,特征值与特征向量的计算

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．
（Ⅱ）确定变换前后坐标之间的关系，利用曲线C：x²-4xy+y²=1，可求在矩阵B所对应的线性变换作用下得到的曲线C′的方程．

解答： 解：（I）∵|A|=1≠0，故A-1=

-3 -2 2 1

，…（4分）
∴X=A-1B=

-3 -2 2 1

0 1 1 -2

=

-2 1 1 0

．…（7分）
（II）矩阵B所对应的线性变换为

x′=y y′=x-2y

，∴

x=2x′+y′ y=x′

，…（9分）
代入x²-4xy+y²=1得：-3x'²+y'²=1…（12分）
即所求曲线C'的方程为：3x²-y²+1=0…（13分）

点评：本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法．解题时要认真审题，仔细解答．