Question

已知函数f（x）=

x+2 ， x＜-1 x2 ， -1≤x≤2 x+ 4 x  ，  x≥2

（1）在直角坐标系中画出f（x）的图象；
（2）若f（x）=5，求x值；
（3）用单调性定义证明函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）的分段情况，在同一坐标系中画出函数y=f（x）的图象；
（2）由函数y=f（x）的图象知，x≥2时，y=f（x）=5，求出x的值；
（3）用单调性的定义证明函数的单调性，步骤是取值，作差，判正负，下结论．

解答： 解：（1）当x＜-1时，y=f（x）=x+2，
当-1≤x≤2时，y=f（x）=x²，
当x≥2时，y=f（x）=x+

4

x

，
∴画出函数y=f（x）的图象，如图；
（2）由函数y=f（x）的图象知，
x≥2时，y=f（x）=x+

4

x

=5，
解得x=4；
（3）证明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵2≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-4＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是区间[2，+∞）上的增函数．

点评：本题考查了分段函数的解析式以及图象的应用问题，也考查了用定义来证明函数的单调性问题，是综合性题目．