Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q与m函数关系为q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，点（b_n-1，b_n）落在q=f（m）上（n≥2，n∈N，求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n，使T_n≤n•2ⁿ⁺²+λ恒成立时，求λ的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）易求a₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n，整理得（1+m）a_n=ma_n-1．由等比数列的定义可得结论；
（2）由题意得bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，两边取倒数得

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2），由此判断{

1

bn

}是等差数列，可求

1

bn

，进而得到b_n．
（3）由（2）可求

2n+1

bn

=2ⁿ•（2n-1），利用错位相减法可求得T_n，则T_n≤n•2ⁿ⁺²+λ可化为λ≥6-3•2ⁿ⁺¹恒成立，进而化为求6-3•2ⁿ⁺¹的最大值，由单调性易得；

解答： （1）证明：当n=1时，a₁=S₁=（m+1）-ma₁，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=ma_n-1-ma_n，即（1+m）a_n=ma_n-1．
∵m为常数，且m＞0，∴

an

an-1

=

m

1+m

（n≥2）． 
∴数列{a_n}是首项为1，公比为

m

1+m

的等比数列．   
（2）解：由（1）得，q=f（m）=

m

1+m

，b₁=2a₁=2．
∵bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1（n≥2）．
∴{

1

bn

}是首项为

1

2

，公差为1的等差数列．  
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，即bn=

2

2n-1

（n∈N^*）．  
（3）解：由（2）知bn=

2

2n-1

，则

2n+1

bn

=2n(2n-1)． 
∴Tn=

22

b1

+

23

b2

+

24

b3

+…+

2n

bn-1

+

2n+1

bn

，即T_n=2¹×1+2²×3+2³×5+…+2^n-1×（2n-3）+2ⁿ×（2n-1），①
2Tn=22×1+23×3+24×5+…+2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1)，②
②-①得Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24-…-2n+1，
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-

23(1-2n-1)

1-2

=2n+1×(2n-3)+6．
Tn≤n•2n+2+λ，化简得λ≥6-3•2ⁿ⁺¹恒成立，
由单调性知当n=1时，右边最大，
∴λ≥-6，λ最小值为-6．

点评：该题考查等差数列、等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，错位相减法对数列求和是高考考查的重要内容，要熟练掌握．