Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）设O，D分别为AC，AP的中点，点G为△OAB内一点，且满足

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)，求证：DG∥面PBC；
（Ⅲ）若AB=AC=2，PA=4，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出PA⊥AC，AB⊥AC，由此能证明AC⊥平面PAB，从而得到AC⊥PB．
（Ⅱ）法1：建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明DG∥平面PBC．
法2：取AB中点E，连OE，则点G在OE上．连结AG并延长交CB于F，连PF，由已知条件推导出DG∥PF，由此能证明DG∥平面PBC．
（Ⅲ）分别求出平面PBC的一个法向量和面PAB的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： 证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
所以PA⊥AC．
又因为AB⊥AC，且PA∩AB=A，
所以AC⊥平面PAB．
又因为PB?平面PAB，
所以AC⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）证法1：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC．
又因为AB⊥AC，所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设AC=2a，AB=b，PA=2c，
则A（0，0，0），B（0，b，0），C（2a，0，0），
P（0，0，2c），D（0，0，c），O（a，0，0）．
又因为

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)，
所以G(

a

3

，

b

3

，0)．
于是

DG

=(

a

3

，

b

3

，-c)，

BC

=(2a，-b，0)，

PB

=(0，b，-2c)．
设平面PBC的一个法向量

n

=（x₀，y₀，z₀），则有

n • BC =0 n • PB =0

，
即

2ax0-by0=0 by0-2cz0=0

不妨设z₀=1，则有y0=

2c

b

，x0=

c

a

，所以

n

=(

c

a

，

2c

b

，1)．
因为

n

•

DG

=

c

a

•

a

3

+

2c

a

•

b

3

+1•(-c)=0，
所以

n

⊥

DG

．又因为DG?平面PBC，
所以DG∥平面PBC．…（9分）
证法2：取AB中点E，连OE，则

OE

=

1

2

(

OA

+

OB

)．
由已知

OG

=

1

3

(

OA

+

OB

)可得

OG

=

2

3

OE

，
则点G在OE上．连结AG并延长交CB于F，连PF．
因为O，E分别为AC，AB的中点，
所以OE∥BC，即G为AF的中点．
又因为D为线段PA的中点，
所以DG∥PF．
又DG?平面PBC，PF?平面PBC，
所以DG∥平面PBC．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC的一个法向量

n

=(

c

a

，

2c

b

，1)=(2，2，1)．
又因为AC⊥面PAB，所以面PAB的一个法向量是

AC

=(2，0，0)．
又cos＜

n

，

AC

＞=

4

3×2

=

2

3

，
由图可知，二面角A-PB-C为锐角，
所以二面角A-PB-C的余弦值为

2

3

．…（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．