Question

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C满足A＜B＜C，（a²+c²-b²）tanB=

3

ac
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若tanA=

2

2

，c=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出sinB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosA与sinA的值，进而求出sinC的值，由c，sinA，sinC的值，利用正弦定理求出a的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（Ⅰ）∵b²=a²+c²-2ac•cosB，且（a²+c²-b²）tanB=

3

ac，
∴tanB=

3 ac

a2+c2-b2

，
∴

sinB

cosB

=

3 ac

2ac•cosB

，
∴sinB=

3

2

，
∴B=

π

3

或

2π

3

，
∵A＜B＜C，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵tanA=

2

2

，A＜B＜C，
∴sinA=

3

3

，cosA=

6

3

，
∴sinC=sin（A+B）=sin（A+

π

3

）=sinAcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

3 +3 2

6

，
∵c=

3

，

a

sinA

=

c

sinC

，
∴a=

2

5

×（3

2

-

3

），
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

10

（3

2

-

3

）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．