Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，a_n+1=

3an

2an+3

（1）证明数列{

1

an

}是等差数列并求a_n的通项；
（2）若数列{b_n}满足b_n•a_n=3（1-

1

2n

），求数列{b_n}的前n和．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据递推数列的关系，结合等差数列的定义即可证明数列{

1

an

}是等差数列并求a_n的通项；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法求数列{b_n}的前n和．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

3an

2an+3

，
∴取倒数得

1

an+1

=

1

an

+

2

3

，
∴{

1

an

}是等差数列，公差d=

2

3

，首项为

2

3

，
则

1

an

2

3

+

2

3

（n-1）=

2

3

n
则a_n=

3

2n

．
（2）∵b_n•a_n=3（1-

1

2n

），
∴b_n=2n（1-

1

2n

）=2n-

n

2n-1

，
∴数列{b_n}的前n和S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+4+…+2n）+（1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

）=n（n+1）+（1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），
设T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
则

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
两式相减得

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2（1-

1

2n

）-

n

2n

，
即T_n=4（1-

1

2n

）-

2n

2n

，
则S_n=n（n+1）+4（1-

1

2n

）-

2n

2n

=n2+n-4+

2+n

2n-1

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法，以及利用错位相减法求数列的和，考查学生的运算能力．