Question

如图，?ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，
（1）当

a

、

b

满足什么条件时，表示

a

+

b

与

a

-

b

的有向线段所在的直线互相垂直？
（2）当

a

、

b

满足什么条件时，|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（3）

a

+

b

与

a

-

b

有可能为相等向量吗？为什么？

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用菱形的对角线的性质即可得出；
（2）利用矩形的对角线的性质即可得出；
（3）利用平行四边形的对角线的性质即可判断出．

解答： 解：（1）易知

a

+

b

=

AC

，

a

-

b

=

DB

．
表示

a

+

b

与

a

-

b

的有向线段所在的直线垂直，
即AC⊥BD．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，即

a

、

b

应满足|

a

|=|

b

|．
（2）|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，即|

AC

|=|

DB

|．
∵矩形的对角线相等．
∴当表示

a

，

b

的有向线段所在的直线垂直时，
满足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（3）不可能，因为□ABCD的两条对角线不可能平行，因此

a

+

b

与

a

-

b

不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了．

点评：本题考查了菱形的对角线的性质、矩形的对角线的性质、平行四边形的对角线的性质、向量的平行四边形法则，属于中档题．