Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）若PA⊥AB，求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出二面角B-PD-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）取PC，BC的中点E，F，连接DF，DE，EF，
由已知可得PD=CD，
则DE⊥PC，
∵平面PAB⊥底面ABCD，AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
∴PB⊥BC，
又E，F是PC，BC的中点，
∴EF∥PB．DF∥AB．
∴BC⊥平面DEF，∴BC⊥DE，
∵BC∩PC=C，
∴DC⊥平面PBC，
又DE?平面PDC，
∴平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）建立如图所表示的空间直角坐标系A-xyz，则B（1，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（1，2，0），
则

BP

=(-1，0，1)，

PD

=(0，1，-1)，

DC

=(1，1，0)，
设平面BPD，平面CPD的法向量分别为

m

=（x₁，y₁，z₁），

n

=（x₂，y₂，z₂），
则

-x1+z1=0 y1-z1=0

，令x₁=1，得

m

=（1，1，1），

y2-z2=0 x2+z2=0

，令x₂=1，得

n

=（1，-1，-1），
观察可得二面角B-PD-C的平面角为锐角，设为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=

1

3

．

点评：本题主要考查面面垂直的判定，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．