Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，AA₁=AB₁，E为BB₁延长线上的一点，D₁E⊥面D₁AC．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D₁的大小；
（Ⅱ）在D₁E上是否存在一点P，使A₁P∥面EAC？若存在，求D₁P：PE的值，不存在，说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E-AC-D₁的大小；
（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可判断A₁P∥面EAC．

解答： 解：（Ⅰ）设AC与BD交于O，如图所示建立空间直角坐标系O-xyz，
设AB=2，则A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），D₁（0，-1，2），
设E（0，1，2+h）
则

D1E

=(0，2，h)，

CA

=(2

3

，0，0)，

D1A

=(

3

，1，-2)
∵D₁E⊥平面D₁AC，
∴D₁E⊥AC，D₁E⊥D₁A，
∴2-2h=0，∴h=1，即E（0，1，3）（3分）
∴

D1E

=(0，2，1)，

AE

=(-

3

，1，3)
设平面EAC的法向量为

m

=(x，y，z)
则由

m ⊥ CA m ⊥ AE

得

x=0 - 3 x+y+3z=0

，
令z=-1
∴平面EAC的一个法向量为

m

=(0，3，-1)
又平面D₁AC的法向量为

D1E

=(0，2，1)，
∴cos＜

m

，

D1E

＞

m • D1E

| m |•| D1E |

=

2

2

∴二面角E-AC-D₁大小为45°．
（Ⅱ）设

D1P

=λ

PE

=λ(

D1E

-

D1P

)，
得

D1P

=

λ

1+λ

D1E

=（0，

2λ

1+λ

，

λ

1+λ

），
∴

A1P

=

A1D1

+

D1P

=(-

3

，-1，0)+(0，

2λ

1+λ

，

λ

1+λ

)=(-

3

，

λ-1

1+λ

，

λ

1+λ

)，
∵A₁P∥面EAC，
∴

A1P

⊥

m

，
∴-

3

×0+3×

λ-1

1+λ

+(-1)×

λ

1+λ

=0，
∴λ=

3

2

∴存在点P使A₁P∥面EAC，
此时D₁P：PE=3：2

点评：本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．要求熟练掌握向量法．