Question

已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2）
（1）求证：{

an

2n

}为等差数列；
（2）求{a_n}的前n项和S_n；
（3）若b_n=

2n-1

an

，求数列{b_n}中的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）对a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2）两边同除以2ⁿ，得

an

2n

=

2an-1

2n

+1，整理有

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，由等差数列的定义可作出判断；
（2）由（1）易求an=n•2n，利用错位相减法可求得S_n；
（3）易求b_n，b_n+1，利用作商可判断b_n+1＜b_n，从而知{b_n}为递减数列，进而得到答案；

解答： 解：（1）∵a₁=2，a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2），
∴

an

2n

=

2an-1

2n

+1，∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，
∴{

an

2n

}为等差数列，首项为

a1

2

=1，公差d=1，
（2）由（1）得

an

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴an=n•2n，
∴S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+3•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2；
（3）b_n=

2n-1

an

=

2n-1

n•2n

＞0，
∴bn+1=

2n+1

(n+1)•2n+1

，
∴

bn+1

bn

=

(2n+1)•n

(2n-1)(n+1)•2

=

2n2+n

2(2n2+n-1)

，
又∵2（2n²+n-1）-（2n²+n）=2n²+n-2，
当n≥1时，2n²+n-2＞0，
∴2（2n²+n-1）＞2n²+n＞0，
∴

bn+1

bn

＜1即b_n+1＜b_n，
∴{b_n}为递减数列，
数列{b_n}中的最大值为b₁=0.5．

点评：本题考查等差关系的确定、数列求和等知识，考查考查学生的推理论证能力、运算求解能力．