Question

已知点M在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形．
（1）求椭圆的方程和圆M的方程．
（2）若点D的坐标为（0，3），M、N是椭圆上的两个动点，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，应该先设出点M的坐标及圆的半径，利用题中的条件建立方程求出圆的半径与a，b的关系，进而求解出椭圆的方程；
（2）设N（s，t），M（x，y），则由

DM

=λ

DN

，可得x=λs，y=3+λ （t-3），利用M、N在曲线C上，可得t=

5λ-1

2λ

，结合|t|≤

6

，即可求实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）设M（x₀，y₀），圆M的半径为r．
因为椭圆的右焦点的坐标为（c，0），圆M与x轴相切于点F，
所以MF⊥x轴，所以x₀=c，r=|y₀|①
因为点M在椭圆上，所以

x02

a2

+

y02

b2

=1
将上式代入，结合a²-c²=b²，
可得r=

b2

a

②
因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r=2，
所以

b2

a

=2，d=c=

3

又因为a²-b²=c²
从而有a²-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）
所以b²=2a=6
所求椭圆方程是：

x2

9

+

y2

6

=1；
（2）设N（s，t），M（x，y），则由

DM

=λ

DN

，
可得（x，y-3）=λ （s，t-3）．
故x=λs，y=3+λ （t-3）．
∵M、N在曲线C上，
∴

s2

9

+

t2

6

=1，

λ2s2

9

+

(3+λt-3λ)2

6

=1
由题意知λ≠0，且λ≠1，消去s，
解得t=

5λ-1

2λ

又|t|≤

6

，
∴|

5λ-1

2λ

|≤

6

．
解得5-2

6

≤λ≤5+2

6

（λ≠1）．
故实数λ的取值范围是5-2

6

≤λ≤5+2

6

（λ≠1）．

点评：此问重点考查了利用方程的思想先设出变量在利用条件进行建立方程求解，还考查了椭圆的基本性质和学生的运算能力，考查化归与转化思想，综合性强．