Question

已知圆x²+y²=1在矩阵M=

a 0 0 b

（a＞0，b＞0）对应的变换作用下得到椭圆x²+4y²=1，求矩阵M的特征值和特征向量．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：选作题,矩阵和变换

分析：确定点在矩阵M=

a 0 0 b

对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，求得矩阵M，列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答： 解：设P（x₀，y₀）为圆上任意一点，在矩阵M=

a 0 0 b

对应的变换下变成另一点Q（x，y），
则

x y

=

a 0 0 b

x0 y0

，即

x=ax0 y=bx0

 
又Q（x，y）满足x²+4y²=1，则a2x02+4b2y02=1，
由x₀²+y₀²=1且P（x₀，y₀）的任意性及a＞0，b＞0，
故a=1，b=

1

2

，即矩阵M=

1 0 0 1 2

，…（5分）
矩阵M的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 0 0 λ- 1 2

.

=（λ-1）（λ-

1

2

），
令f（λ）=0，解得M的特征值λ₁=1，λ₂=

1

2

，
从而求得对应的一个特征向量分别为

α1

=

1 0

，

α2

=

0 1

．    …（10分）

点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．