Question

如图，已知四边形OABC与OADE是两个全等的矩形，M，N分别是OD与AC上两点，且OM=AN，过M作MM₁∥OA交OE于点M₁，连接M₁N．
（1）求证：平面MNM₁⊥平面OCE；
（2）求证：CE∥平面MNM₁；
（3）若平面OABC⊥OADE，OA=6，OC=3，

OM

=

1

3

OD

，求二面角M₁-MN-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面MNM₁⊥平面OCE；
（2）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面MNM₁；
（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出二面角M₁-MN-D的余弦值

解答： 证明：（1）∵四边形OABC与OADE是两个全等的矩形，
∴AO⊥CO，AO⊥OE，
∵CO∩OE=C，
∴AO⊥平面OCE，
∵MM₁∥AO，
∴MM₁⊥平面OCE
又MM₁?平面，
∴平面MNM₁⊥平面OCE．
（2）如图，过点N作NN₁∥AO，NN₁交CO于N₁，连接N₁M₁
∵MM₁∥AO，
∴NN₁∥MM₁
∴MM₁N₁N四点共面，
∵NN₁∥AO，
∴

ON1

CN1

=

AN

CN

，同理

OM1

M1E

=

OM

MD

∵四边形OABC与四边形OADE全等，
∴AC=OD
又∵OM=AN∴CN=MD，
∴

ON1

CN1

=

AN

CN

=

OM

MD

=

OM1

M1E

，
∴M₁N₁∥EC，
∵CE?平面MNM₁，M₁N₁?平面MNM₁
∴CE∥平面MNM₁
（3）∵平面OABC⊥平面OADE，CO⊥AO，AO是交线，
∴CO⊥平面OADE，
∴CO⊥OE
以O为原点，OE为x轴，OA为y轴，建立如图空间直角坐标系
∵OA=6，OC=OE=3
∴D（3，6，0），E（3，0，0），A（0，6，0），C（0，0，3）
∵

OM

=

1

3

OD

∴M（1，2，0），M₁（1，0，0）

AN

=

1

3

AC

∴N（0，4，1）
设平面MNM₁的一个法向量

n

=(x1，y1，z1)
∵

MN

=(-1，2，1)，

MM1

=(0，2，0)
∴

n • MN =-x1+2y1+z1=0 n • M1M =2y1=0

∴y₁=0，令z₁=1
∴x₁=1，∴

n

=(1，0，1)，|

n

|=

2

同理求得平面MND的一个法向量为

m

=(2，-1，4)，|

m

|=

21

设二面角M₁-MN-D的平面角为θ，
依题意θ为钝角∴cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-|

n • m

| n |•| m |

|=-|

2+4

2 • 21

|=-

42

7

∴二面角M₁-MN-D的平面角的余弦值是-

42

7

．

点评：本题主要考查面面垂直和线面平行的判定，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．