Question

设a∈R，关于x的一元二次方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0有两实数根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）求a的取值范围；
（2）比较a³与a²-a+1的大小．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数零点的判定定理,不等式比较大小

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据一元二次方程根的分布关系，建立条件关系，即可求a的取值范围；
（2）利用作差法，即可比较a³与a²-a+1的大小．

解答： 解：（1）记函数f（x）=7x²-（a+13）x+a²-a-2，其图象是一条开口向上的抛物线，
一元二次方程7x²-（a+13）x+a²-a-2=0的两个实数根x₁，x₂即为函数f（x）的零点，则
若0＜x₁＜1＜x₂＜2，则

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，
即

a2-a-2＞0 a2-2a-8＜0 a2-3a＞0

，∴

a＞2或a＜-1 -2＜a＜4 a＞3或a＜0

，
∴-2＜a＜-1，或3＜a＜4，
即满足条件时，实数a的取值范围是-2＜a＜-1，或3＜a＜4．
（2）∵a³-（a²-a+1）=（a³-a²）+（a-1）=（a-1）（a²+1）
∴当3＜a＜4时，a-1＞0，则a³＞a²-a+1；
当-2＜a＜-1时，a-1＜0，则a³＜a²-a+1．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布，利用方程和函数之间的关系是解决本题的关键．