Question

设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+3n

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N^*）
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）设S_n为数列{b_n}的前n项的和，其中b_n=2^f（n），问是否存在正整数n，t，使

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，根据定义分别求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）求出S_n，解不等式即可得到结论．

解答： 解：（1）f（1）=3，f（2）=6，
当x=1时，y取值为1，2，3，…，2n，共有2n个格点，
当x=2时，y取值为1，2，3，…，n，共有n个格点，
∴f（n）=n+2n=3n．
（2）b_n=2^f（n）=2³ⁿ=8ⁿ，为等比数列，
则S_n=

8(1-8n)

1-8

=

8

7

(8n-1)，
将S_n代入

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

，
化简得

( 8 7 -t)8n- 8 7

( 8 7 -t)8n- 1 7

＜

1

2

，
当t=1，

8n 7 - 8 7

8n 7 - 1 7

＜

1

2

，①，即

8n

7

＜

15

7

，此时n=1，
当t＞1，有（

8

7

-t）8ⁿ-

1

7

＜0，则①式可化为（

8

7

-t）8ⁿ＞

15

7

，不可能成立．
综上存在正整数n=1，t=1使

Sn-tbn

Sn+1-tbn+1

＜

1

16

成立．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及等比数列的通项公式和前n项和的计算，考查学生的计算能力．