Question

已知

m

=（2sinx，2cosx），

n

=（cos

π

3

，-sin

π

3

），f（x）=

m

•

n

+1
（Ⅰ）求f（

π

2

）的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（

π

2

x），求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）；
（Ⅲ）若函数h（x）=

sin•f2(x+ π 3 )-8

1+cos2x

在区间[-

5π

4

，

5π

4

]上的最大值为M，最小值为m，求M+m的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,对数的运算性质,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（I）由题意易得f（x）的解析式，可得f（

π

2

）的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）可得g（x）的解析式，可得g（x）的周期T=4，易得结果；（Ⅲ）化简可得h（x）的解析式，由函数的奇偶性可得．

解答： 解：（I）∵

m

=(2sinx，2cosx)，

n

=(cos

π

3

，-sin

π

3

)，f(x)=

m

•

n

+1
∴f(x)=2sinxcos

π

3

-2cosxsin

π

3

+1=2sin（x-

π

3

）+1
∴f(

π

2

)=2，∴f（x）_max=3
（Ⅱ）∵g(x)=f(

π

2

x)=2sin(

π

2

x-

π

3

)+1，
∴g（x）的周期T=4，计算可得g(1)=2，g(2)=

3

+1，g(3)=0，g(4)=-

3

+1，
∴g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=4×503+g（2013）+g（2014）
=2012+2+

3

+1=2015+

3

（Ⅲ）∵h(x)=

sinx•f2(x+ π 3 )-8

1+cos2x

=

sinx•(2sinx+1)2-8

1+cos2x

=

4sin3x+4sinx2+sinx-8

1+cos2x

=

4sin3x+sinx+4(1-cosx2)-8

1+cos2x

=

4sin3x+sinx-4-4cosx2

1+cos2x

=

4sin3x+sinx

1+cos2x

-4，
令t(x)=

4sin3x+sinx

1+cos2x

，可得t（-x）=-t（x），∴t（x）为奇函数，
∵奇函数图象关于原点对称，∴在[-

5π

4

，

5π

4

]上t（x）_max+t（x）_min=0，
∴M+m=[t（x）_max-4]+[t（x）_min-4]=-8

点评：本题考查三角函数公式，涉及函数的周期性和奇偶性，属中档题．