Question

如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，若PA=

5

，PB=

10

，PC=2

2

，且点E，F分别在线段PB，PA 上满足：PE：EB=1：2，PF：FA=2：3
（Ⅰ）求证：△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）求平面EFC与平面ABC所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）利用线面垂直，分别证明∠CAB与∠CBA，∠ACB为锐角，即可证明△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出平面EFC与平面ABC所成的角的余弦值

解答： 证明：（Ⅰ）过P作PD⊥AB于D，连接CD，
则

PC⊥PA PC⊥PB PA∩PB=P

，
则PC⊥平面PAB，
又AB?平面PAB，
∴AB⊥PC，
∵PD⊥AB，PC∩PD=P，
即

AB⊥面PDC CD?面ABC

，
则AB⊥CD，
则∠CAB与∠CBA均为锐角，同理可知∠ACB为锐角
即△ABC为锐角三角形；
（Ⅱ）以P为原点PB、PA、PC分别为x，y，z轴建立坐标系．
则C（0，0，

2 5

5

），A（0，2

2

，0），B（

2 10

5

，0，0），E（

2 10

15

，0，0），F（0，

4 2

5

，0），
则

AC

=（0，-2

2

，

2 5

5

），

AB

=（

2 10

15

，-2

2

，0）
设平面ABC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AC =0 n • AB =0

，即

-2 2 y+ 2 5 5 z=0 2 10 5 x-2 2 y=0

，令y=1，则x=

5

，z=

10

，即

n

=（

5

，1，

10

），
同理求得平面EFC的法向量

m

=（6，

5

，

2

），
两平面的夹角的余弦值cos＜

m

，

n

＞=

11 5

28

．

点评：本题主要考查线面垂直的应用，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．