Question

下列命题中：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰直角三角形；
②奇函数f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在区间（-4，4）上是单调减函数．
③如果正实数a，b，c满足a+b＞c，则

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

；
④设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n为复数isin 

nπ

2

+cos

nπ

2

（n∈N^*）的虚部，则S₂₀₁₄=1
⑤复数z₁，z₂，若（z₁-z_2）²+（z₂-z₃）²=0 则z₁=z₂=z₃；
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：常规题型,简易逻辑

分析：①两个角的正弦值相等，这两个角可能相等，也可能互补；
②根据奇函数，求出m，n的值，利用导数求单调区间；
③利用放缩法直接证明不等式；
④根据数列{a_n}是周期性数列求和；
⑤举反例，z₁=1+2i，z₂=1+i，z₃=2+i，验证．

解答： 解：对于①，由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故①不正确；
对于②，由函数f（x）是奇函数得m=1，n=0，所以f（x）=x³-48x．
由f′（x）=3x²-48＜0得：-4＜x＜4，所以函数f（x）在区间（-4，4）上是单调减函数，故②正确；
对于③，对于③，如果正实数a，b，c满足a+b＞c，
则

a

1+a

+

b

1+b

＞

a

1+a+b

+

b

1+a+b

=

a+b

1+a+b

，
∵a+b＞c，∴a+b+ac+bc＞c+ac+bc，即（a+b）（1+c）＞c（1+a+b）
∴

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

，则

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

，故③正确；
对于④，an=sin

nπ

2

，S₂₀₁₄=1+0+（-1）+0+1+0+（-1）+0+…=1，故④正确；
对于⑤，z₁=1+2i，z₂=1+i，z₃=2+i，则（z₁-z₂）²+（z₂-z₃）²=i²+1²=0，这时z₁≠z₂≠z₃，故⑤不正确．
故答案为：②③④．

点评：本题以命题的形式考查了三角函数、函数的奇偶性与单调性、不等式的证明、复数等，涉及的知识面比较广，对于⑤，特别要注意在实数范围内成立的结论在复数中不一定成立．