Question

已知数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}是正项等比数列，且a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，是否存在正整数M，使得对一切n∈N^*，都有c_n≤M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵数列{a_n}的前n项和，
∴n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=4n-4，
当n=1时，a₁=S₁=-1，满足上式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-5（n∈N^*）
∵数列{b_n}是正项等比数列，a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
∴b₁=1，b₃=，q=
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=
（2）∵c_n=a_nb_n，∴c_n=
由，可得n≤2，当n≥3时，c_n+1≤c_n
∴c₃最大，最大值为．
故存在正整数M，使得对一切n∈N^*，都有c_n≤M成立，M的最小值为2
分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=-1，当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1得到a_n的通项公式，把n=1代入也满足，得到即可；因为数列{bn}是各项为正的等比数列，根据a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁，即可利用等比数列的通项公式得到b_n的通项；
（2）把a_n和b_n的通项公式代入到c_n=a_nb_n中，可确定c₃最大，即可得到结论．
点评：本题考查数列的通项公式，考查数列的单调性，考查存在性问题，属于中档题．