Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{8}$，若$\frac{{a}_{n+6}-{a}_{n}}{91}$≥3ⁿ≥a_n+2-a_n，则a₂₀₁₇=$\frac{1}{8}$•3²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 利用叠加法，结合条件得出a_n+6-a_n=91•3ⁿ，a_n+2-a_n=3ⁿ，进一步可得数列{a_n-$\frac{1}{8}$•3ⁿ}的奇数项是各项均为0的常数数列，即可得出结论．

解答 解：∵3ⁿ≥a_n+2-a_n，①
3ⁿ⁺²≥a_n+4-a_n+2，②
3ⁿ⁺⁴≥a_n+6-a_n+4，③
①+②+③：a_n+6-a_n≤3ⁿ+3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺⁴=（1+3²+3⁴）•3ⁿ=91•3ⁿ，
又$\frac{{a}_{n+6}-{a}_{n}}{91}$≥3ⁿ，因此只有a_n+6-a_n=91•3ⁿ，
∴a_n+2-a_n=3ⁿ，
∴a_n+2-$\frac{1}{8}$•3ⁿ⁺²=a_n-$\frac{1}{8}$•3ⁿ，
∵a₁=$\frac{3}{8}$，
∴a₁-$\frac{1}{8}$•3=0
∴数列{a_n-$\frac{1}{8}$•3ⁿ}的奇数项是各项均为0的常数数列．
n为奇数时，a_n=$\frac{1}{8}$•3ⁿ，∴a₂₀₁₇=$\frac{1}{8}$•3²⁰¹⁷．
故答案为：$\frac{1}{8}$•3²⁰¹⁷．

点评 本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．