分析:取A
1C
1之中点为D
1,连接点DD
1,分别以DB,AC,DD
1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
(1)求出平面BC
1D的一个法向量
,,通过
⊥
来证明AB
1∥平面BC
1D;
(2)分别求出平面BC
1D,平面BCC
1的一个法向量,利用两法向量的夹角求出二面角C
1-AB-C的大小.
(3)点B
1平面BC
1D的距离等于
在平面BC
1D的法向量方向上投影的绝对值.
解答:解:如图,取A
1C
1之中点为D
1,连接点DD
1,
在正三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,则有AC,BD,DD
1两两互相垂直,分别以DB,AC,DD
1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间右手直角坐标系.∵
∠C1DC=600,AC=2,且D为AC之中点,CC
1⊥AC,所以侧棱CC
1=3,则所需各点的坐标分别为:D(0,0,0),
A(0,-,0),B(3,0,0),B1(3,0,3),C(0,,0),C1(0,,3)(1)设平面BC
1D的法向量为
=(x,y,z),又
=(3,0,0),=(0,,3),
则由
,取
=(0,-,1),又
=(3,,3)∵
•=0即
⊥,又AB
1?平面BC
1D,
∴AB
1∥平面BC
1D
(2)由(1)知平面BC
1D的法向量
=(0,-,1)(向外),设平面BCC
1的法向量
=(x1,y1,z1),
又
=(-3,,0),
=(0,0,3),
由
,取
=(-1,-,0)(向内)
cos<,>==,所以二面角D-BC
1-C的平面角的大小
arccos(3)由(1)知平面BC
1D的法向量
=(0,-,1),又
=(0,0,3),则点B
1平面BC
1D的距离为
d=||= 点评:本题考查空间直线、平面位置关系的判断,二面角大小求解,考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力.利用向量这一工具,解决空间几何体问题,能够降低思维难度.