Question

10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4asin²$\frac{B}{2}$=b+2a-2c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{6}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （I）由sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{1-cosB}{2}$，4asin²$\frac{B}{2}$=b+2a-2c．可得：2a-2acosB=b+2a-2c．化简再利用余弦定理即可得出．
（II）由a=$\sqrt{6}$及（I）可得：b²+c²-bc=6，又S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA，可得$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，解得b，c．

解答 解：（I）在△ABC中，∵sin²$\frac{B}{2}$=$\frac{1-cosB}{2}$，4asin²$\frac{B}{2}$=b+2a-2c．
∴2a-2acosB=b+2a-2c．化为2acosB=2c-b，
∴$2a×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=2c-b，化为：a²=b²+c²-bc，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）由a=$\sqrt{6}$及（I）可得：b²+c²-bc=6，又S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，化为bc=4．
解得b=$\sqrt{2}$，c=2$\sqrt{2}$或b=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了余弦定理、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．