Question

20．已知双曲线中心在原点，顶点在y轴上，两顶点间的距离是16，且离心率为$\frac{5}{4}$，试求双曲线方程及焦点到渐近线的距离．

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a，b＞0，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，c，进而得到双曲线的方程和渐近线方程，由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a，b＞0，
由题意可得2a=16，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
解得a=8，c=10，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=6，
可得双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{64}$-$\frac{{x}^{2}}{36}$=1；
焦点（0，10）到渐近线y=$\frac{4}{3}$x的距离为d=$\frac{|30|}{\sqrt{9+16}}$=6．

点评 本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．