Question

9．已知圆C：x²+（y-4）²=100，点A为圆C上的动点，点B的坐标为（0，-4），动点P满足$\overrightarrow{CP}$=$λ\overrightarrow{PA}$（λ＞0），（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-2$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=0，则点P的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1

Answer 1

分析 作出圆的图象，根据向量数量积的定义判断，P的轨迹是以C，B为焦点的椭圆，求出a，b，即可得到结论．

解答 解：作出圆的图象如图，则C（0，4），
∵点A为圆C上的动点，
∴CA=R=10，
∵是D是AB的中点，
∴由（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-2$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=0得（2$\overrightarrow{OD}$-2$\overrightarrow{OP}$）•$\overrightarrow{BA}$=0，
即2$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{BA}$=0，
则PD⊥AB，
∵D是AB的中点，
∴△ABP是等腰三角形，
则PD=PB，
∵CA=CP+PAR=CP+PB=10＞AB=8，
∴P的轨迹是以C，B为焦点的椭圆，
则c=4，2a=10，即a=5，则b²=a²-c²=25-16=9，
即点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，
故选：D

点评 本题主要考查点的轨迹方程的求解，结合向量数量积的应用，转化为椭圆的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．