Question

15．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3，E为B₁C₁的中点，F在CC₁上，且C₁F=1，G在AA₁上，且AG=2．
（1）证明：DG∥平面A₁EF；
（2）设平面A₁EF与DD₁交于点H，求线段DH的长，并求出截面A₁EFH的面积．

Answer 1

分析 （1）构造四边形GMCD是平行四边形，利用线线平行，证明线面平行，从而证明DG∥平面A₁EF；
（2）根据线面平行的性质定理，结合题意，得出截面A₁EFH是等腰梯形，结合图中数据求出截面面积．

解答 解：（1）证明：如图所示，
设M为BB₁上一点，且BM=2，连接MG、MC，易得GM∥DC，且GM=DC，
∴四边形GMCD是平行四边形，
∴DG∥CM；
在矩形B₁C₁CB中，C₁E=C₁F=1，BC=BM=2，
∴∠MCF=∠EFC=45°，∴FE∥CM，∴DG∥FE；
又DG?平面A₁EF，FE?平面A₁EF，
∴DG∥平面A₁EF；
（2）∵DG∥平面A₁EF，DG?平面AA₁D₁D，
平面AA₁D₁D∩平面A₁EF=A₁H，
∴DG∥A₁H，∴DH=A₁G=1；
由上易得截面A₁EFH是等腰梯形；
其中EF=$\sqrt{2}$，A₁H=2$\sqrt{2}$，A₁E=$\sqrt{5}$；
由此可得等腰梯形A₁EFH的高为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
∴截面A₁EFH的面积为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了空间中的线线与线面平行的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．