Question

7．梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-12．

Answer 1

分析 以AD所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立直角坐标系，由平行线的性质定理可得OD=1，运用勾股定理进而得到OC，OD，求得A，B，C，D的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．

解答 解：以AD所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立直角坐标系，
由AB∥CD可得，$\frac{OD}{OA}$=$\frac{CD}{BA}$，
即为$\frac{OD}{OD+2}$=$\frac{2}{6}$，解得OD=1，
可得OC=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{36-9}$=3$\sqrt{3}$，
即有A（3，0），D（1，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（0，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（-3，$\sqrt{3}$）•（1，-3$\sqrt{3}$）=-3•1+$\sqrt{3}$•（-3$\sqrt{3}$）=-12．
故答案为：-12．

点评 本题考查向量的数量积的求法，注意运用坐标法，同时考查向量的数量积的坐标表示，以及平行线的性质定理，考查运算能力，属于中档题．