Question

19．定义min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{x，（x＜y）}\\{y，（x≥y）}\end{array}\right.$，则不等式min{x+$\frac{4}{x}$，4}≥8min{x，$\frac{1}{x}$}的解集是$（-∞，0）∪（0，\frac{1}{2}]∪[2，∞）$．

Answer 1

分析 由基本不等式可知$x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x+\frac{4}{x}}=4$，min{x+$\frac{4}{x}$，4}=4，转化成求不等式的解集的问题．

解答 解：①当x＞0时，由基本不等式可知$x+\frac{4}{x}≥2\sqrt{x+\frac{4}{x}}=4$，min{x+$\frac{4}{x}$，4}=4，则不等式转化成：
min{x，$\frac{1}{x}$}≤$\frac{1}{2}$，即：$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{x}≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{x}≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得：$x≤\frac{1}{2}$或x≥2
②当x＜0，min{x+$\frac{4}{x}$，4}=x+$\frac{4}{x}$=-[（-x）+$\frac{4}{-x}$]≥2，
[（-x）+$\frac{4}{-x}$]≥2，
∴min{x+$\frac{4}{x}$，4}≤-2，
∴8x≤-2，x≤-$\frac{1}{4}$，
$\frac{4}{x}≥-2$，x≥-$\frac{1}{4}$，
综上不等式的解集为$（-∞，0）∪（0，\frac{1}{2}]∪[2，∞）$．
故答案为：$（-∞，0）∪（0，\frac{1}{2}]∪[2，∞）$．．

点评 本题主要考察基本不等式的关系将已知的不等式进行转化，然后求解，属于基础题．