Question

14．已知奇函数f（x），偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求证：f（2x）=2f（x）•g（x）；
（2）设f（x）的反函数是f^-1（x），当a=$\sqrt{2}-1$时，试比较f^-1[g（x）]与-1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根据函数的奇偶性进行化简，得到关于f（x）与g（x）的方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式，从而证得f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）根据互为反函数的单调性的关系可得出y=f^-1（x）是R上的减函数，再将-1代入，可求出f（-1）的值，结合反函数的单调性比较大小即得；

解答 证明：（1）∵f（x）+g（x）=a^x，
∴f（-x）+g（-x）=a^-x
∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴-f（x）+g（x）=a^-x，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）．
∴f（x）g（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x）•$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）=$\frac{1}{4}$（a^2x-a^-2x）=$\frac{1}{2}$f（2x），即f（2x）=2f（x）g（x）．
（2）0＜a=$\sqrt{2}-1$＜1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（a^x-a^-x）是R上的减函数，
∴y=f^-1（x）是R上的减函数，
又∵f（-1）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$-\sqrt{2}$+1）=1，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$（a^x+a^-x）≥$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{{a}^{x}•{a}^{-x}}$=1=f（-1），
∴f^-1[g（x）]≤-1．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，根据函数的奇偶性与题设中所给的解析式求出两个函数的解析式，此是函数奇偶性运用的一个技巧．属于中档题