Question

4．在△ABC中，求证：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{sin（A-B）}{sinC}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理、倍角公式、和差化积即可证明．

解答 证明：由正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A-si{n}^{2}B}{si{n}^{2}C}$=$\frac{\frac{1-cos2A}{2}-\frac{1-cos2B}{2}}{si{n}^{2}C}$
=$\frac{\frac{1}{2}（cos2B-cos2A）}{si{n}^{2}C}$=$\frac{-sin（B+A）sin（B-A）}{si{n}^{2}C}$=$\frac{sin（A-B）}{sinC}$．
故：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{sin（A-B）}{sinC}$．

点评 本题主要考查了正弦定理、倍角公式、和差化积公式在三角函数化简求值及证明中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．