Question

11．设函数f（x）=x|x-a|+|x+b|（a，b∈R）．
（1）若a=2，b=1，试求函数f（x）在[0，2]上的值域；
（2）若b=0，1＜a＜2，试求函数f（x）在[-1，3]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）当a=2，b=1时，f（x）=x|x-2|+|x+1|，从而化简去绝对值号f（x）=x（2-x）+x+1，从而配方法求值域；
（2）f（x）=x|x-a|+|x|，讨论以去掉绝对值号，从而确定函数的单调性及最值，从而解得．

解答 解：（1）当a=2，b=1时，f（x）=x|x-2|+|x+1|，
又∵x∈[0，2]，
∴f（x）=x（2-x）+x+1
=-x²+3x+1=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，
∵x∈[0，2]，
∴1≤-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{13}{4}$≤$\frac{13}{4}$，
故函数的值域为[1，$\frac{13}{4}$]；
（2）由题意，f（x）=x|x-a|+|x|，
当-1≤x≤0时，f（x）=x（a-x）-x=-x²+（a-1）x，
在[-1，0]上单调递增，
故f（x）_max=f（0）=0，
当0＜x≤a时，f（x）=x（a-x）+x=-x²+（a+1）x，
其图象的对称轴为x=$\frac{a+1}{2}$＜a，
故f（x）在（0，$\frac{a+1}{2}$）上是增函数，在[$\frac{a+1}{2}$，a]上是减函数，
故f（x）_max=f（$\frac{a+1}{2}$）=$\frac{（a+1）^{2}}{4}$，
当a＜x≤3时，f（x）=x（x-a）+x=x²-（a-1）x，
其图象的对称轴为x=$\frac{a-1}{2}$＜a，
故f（x）在（a，3]上是增函数，
故f（x）_max=f（3）=9-3（a-1）=12-3a，
又∵1＜a＜2，
∴12-3a＞$\frac{（a+1）^{2}}{4}$＞0，
故g（a）=12-3a．

点评 本题考查了绝对值函数与二次函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用与配方法的应用．