Question

10．与正方体各棱都相切的球称为棱切球，则它的体积与正方体体积之比为$\frac{\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 由题意可得，棱切球的直径即为正方体的相对两条棱的距离，也就是正方体面上的对角线长，由此即可求得答案．

解答 解：设正方体的棱长为a，
由棱切球与正方体的各棱都相切，
可得棱切球的直径等于正方体的相对两条棱的距离，
故球的直径为正方体面上的对角线长：即2r=$\sqrt{2}a$，
则r=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴棱切球的体积与正方体体积之比为$\frac{\frac{4}{3}π（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{3}}{{a}^{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}π$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}π$．

点评 本题是新定义题，考查了球的体积与正方体的体积，是基础题．