Question

2．将函数f（x）=sin（2x+φ）$（|φ|＜\frac{π}{2}）$的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得$f（x-\frac{π}{12}）=sin（2x-\frac{π}{6}+φ）=cos（2x+φ-\frac{2π}{3}）$，又图象关于y轴对称，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，可得函数解析式$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$，又由已知可得$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，利用正弦函数的图象和性质即可解得f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最小值．

解答 解：∵由题$f（x-\frac{π}{12}）=sin（2x-\frac{π}{6}+φ）=cos（2x+φ-\frac{2π}{3}）$，
又∵图象关于y轴对称，
∴依题$φ=kπ+\frac{2π}{3}，k∈Z$，
∴结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得$φ=-\frac{π}{3}$．这样$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$，
又∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
∴可得：$f{（x）_{min}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．