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已知函数f(x)=x2-2,g(x)=xlnx,,
(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)试判断方程ln(1+x2)-
12
f(x)-k=0
有几个实根.
分析:(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,将g(x)代入化简得2xlnx+x2-ax+3≥0解出a要小于函数的最小值,利用导数讨论函数的增减性得到函数的最小值即可;
(2)将f(x)代入到方程中化简得k等于一个函数,求出函数的导函数=0时的x值,然后讨论函数的增减性得到函数的最大值,然后讨论k的范围决定方程解的个数.
解答:解:(1)若对一切x∈(0,+∞),2g(x)≥ax-5-f(x)恒成立,
即2xlnx+x2-ax+3≥0在x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤2lnx+x+
3
x
在x∈(0,+∞)恒成立,
F(x)=2lnx+x+
3
x
,则F′(x)=
2
x
+1-
3
x2
=
(x+3)(x-1)
x2
,F'(x)=0时x=1,F(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,∴Fmin=F(1)=4,∴只需a≤4.
(2)将原方程化为ln(1+x2)-
1
2
x2+1=k

G(x)=ln(1+x2)-
1
2
x2+1
,为偶函数,且G(0)=1,x>0时G′(x)=
-x(x+1)(x-1)
x2+1

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∴G(x)max=
1
2
+ln2,且x→+∞,y→-∞∴k>
1
2
+ln2
时,无解;k=
1
2
+ln2
或k=1时,三解;1<k<
1
2
+ln2
,四解;k<1时,两解.
点评:考查学生利用导数求函数极值的能力,理解函数恒成立条件的能力,以及函数与方程的综合运用能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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