Question

3．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂₀₁₇=4034，则$\frac{1}{a_9}+\frac{9}{{{a_{2009}}}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由差数列的前n项和公式，求出a₁+a₂₀₁₇=4．由等差数列的性质得a₉+a₂₀₀₉=4，由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2008}}}}$的最小值．

解答 解：由差数列的前n项和公式，得${S_{2017}}=\frac{{2017（{a_1}+{a_{2017}}）}}{2}=4034$，
则a₁+a₂₀₁₇=4．
由等差数列的性质得a₉+a₂₀₀₉=4，
∴$\frac{1}{a_9}+\frac{9}{{{a_{2009}}}}=\frac{1}{4}（{a_9}+{a_{2009}}）（\frac{1}{a_9}+\frac{9}{{{a_{2009}}}}）=\frac{1}{4}（10+\frac{{{a_{2009}}}}{a_9}+\frac{{9{a_9}}}{{{a_{2009}}}}）≥\frac{1}{4}（10+2\sqrt{\frac{{{a_{2009}}}}{a_9}×\frac{{9{a_9}}}{{{a_{2009}}}}}）=\frac{1}{4}（10+6）=4$．
故选：D．

点评 本题考查数列两项倒数和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．