Question

20．已知函数f（x）=2ax²-4lnx（a∈R）
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）对函数求导，利用f'（x）≥0求得增区间，f'（x）≤0求得减区间．
（2）对a进行讨论，得到f'（x）的正负号，从而得到单调区间．

解答 解：（1）a=2，f（x）=4x²-4lnx，
f'（x）=8x-$\frac{4}{x}=\frac{8{x}^{2}-4}{x}$，f'（x）≥0，解得$x≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，或$x≤-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因为x＞0，所以$x≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，即函数的增区间为[$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$），
f'（x）≤0，解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}≤x≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，因为x＞0，所以$0≤x≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即函数的单调递减区间为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
（2）$f'（x）=4ax-\frac{4}{x}=\frac{4a{x}^{2}-4}{x}$，
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，所以函数在（0，+∞）上单调递减．
当a＞0时，f'（x）=0解得x=$±\sqrt{\frac{1}{a}}$，∵x＞0，∴$x=\sqrt{\frac{1}{a}}$
f'（x）≥0，解得x$≥\sqrt{\frac{1}{a}}$，所以函数的单调增区间为[$\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞$）．
f'（x）≤0，解得$0＜\\;≤\sqrt{\frac{1}{a}}$$\sqrt{\frac{1}{a}}$，所以函数得单调减区间为（0，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）

点评 本题主要考查导数在函数单调性中的应用，属于基础题型，高考常考题型．