Question

12．已知实数x∈R，α∈R，则当x=2 时，（x+sinα）²+（4-x-cosα）²取最小值为9-$4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过分析可知所求最小值表示单位圆上的点到直线x-y-4=0的距离的最小值的平方，数形结合、计算即得结论．

解答 解：记4-x=t，则x=4-t，-x=t-4，
∴（x+sinα）²+（4-x-cosα）²=（x-cosα）²+（x-4-sinα）²，
∴（x+sinα）²+（4-x-cosα）²表示单位圆上的点到直线x-y-4=0的距离的最小值的平方，
过原点O作OB垂直于直线x-y-4=0交于点B，OB交单位圆与点A，
则|AB|²即为所求值，
∵|OB|=$\frac{|0-0-4|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|AB|=|OB|-|OA|=2$\sqrt{2}$-1，
∴|AB|²=$（2\sqrt{2}-1）^{2}$=9-$4\sqrt{2}$，
记此时B（x，x-4），∴|OB|=2$\sqrt{2}$=$\sqrt{{x}^{2}+（x-4）^{2}}$，
解得x=2，
故答案为：2，9-$4\sqrt{2}$．

点评 本题考查求函数的最值，利用数形结合是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．