Question

18．设f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$．
（1）若x₁+x₂=1．求f（x₁）+f（x₂）的值；
（2）求f（$\frac{1}{1000}$）+f（$\frac{2}{1000}$）+…+f（$\frac{999}{1000}$）的值．

Answer 1

分析 （1）若x₁+x₂=1，则x₁=1-x₂，结合f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$和指数的运算性质，代和可得f（x₁）+f（x₂）=1，
（2）结合（1）中结论，利用倒序相加法，可得f（$\frac{1}{1000}$）+f（$\frac{2}{1000}$）+…+f（$\frac{999}{1000}$）=$\frac{999}{2}$．

解答 解：（1）若x₁+x₂=1，则x₁=1-x₂，
则f（x₁）+f（x₂）=f（1-x₂）+f（x₂）=$\frac{{4}^{1-{x}_{2}}}{{4}^{1-{x}_{2}}+2}$+$\frac{{4}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+2}$=$\frac{（{4}^{1-{x}_{2}}）•2（{4}^{{x}_{2}-1}）}{{（4}^{1-{x}_{2}}+2）•2（{4}^{{x}_{2}-1}）}$+$\frac{{4}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+2}$=$\frac{2}{{4}^{{x}_{2}}+2}$+$\frac{{4}^{{x}_{2}}}{{4}^{{x}_{2}}+2}$=1．
（2）设S=f（$\frac{1}{1000}$）+f（$\frac{2}{1000}$）+…+f（$\frac{999}{1000}$），
则S=f（$\frac{999}{1000}$）+f（$\frac{998}{1000}$）+…+f（$\frac{1}{1000}$），
结合（1）中结论，可得：2S=999，
故f（$\frac{1}{1000}$）+f（$\frac{2}{1000}$）+…+f（$\frac{999}{1000}$）=$\frac{999}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数的值，其中根据已知得到x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=1，是解答的关键．