Question

8．已知-4＜x＜1，求y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2（x-1）}$的最大值．

Answer 1

分析 令x-1=t（-5＜t＜0），将函数化简可得$\frac{（x-1）^{2}+1}{2（x-1）}$=$\frac{1}{2}$（x-1+$\frac{1}{x-1}$）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$），运用基本不等式即可得到最大值，求得等号成立的条件．

解答 解：令x-1=t（-5＜t＜0），
则y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{2（x-1）}$=$\frac{（x-1）^{2}+1}{2（x-1）}$
=$\frac{1}{2}$（x-1+$\frac{1}{x-1}$）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$）
=-$\frac{1}{2}$（-t+$\frac{1}{-t}$）≤-$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{（-t）•\frac{1}{-t}}$=-1．
当且仅当t=-1即x=0时，取得最大值-1．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，属于中档题．