Question

13．对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足
①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c（c是常数）；
②对于D内任意x₂，当x₂∉[a，b]时总有f（x₂）＞c，则称f（x）为“平底型”函数．
判断f₁（x）=|2^x-1|+|2^x-2|，f₂（x）=|2^x-1|-|2^x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由．

Answer 1

分析 考查函数是否全部具备“平底型”函数的定义中的2个条件：①在一个闭区间上，函数值是个常数；②在闭区间外的定义域内，函数值大于此常数．

解答 解：①f₁（x）=|2^x-1|+|2^x-2|是“平底型”函数，
∵存在区间[0，1]使得f₁（x）=1，在区间[0，1]外，f₁（x）＞1，
∴f₁（x）=|2^x-1|+|2^x-2|是“平底型”函数．
②f₂（x）=|2^x-1|-|2^x-2|不是“平底型”函数，
∵在（-∞，0]上，f₂（x）=-1，在（-∞，0]外，f₂（x）＞-1，（-∞，0]不是闭区间．
∴f₂（x）=|2^x-1|-|2^x-2|不是“平底型”函数．

点评 本题综合考查函数概念及构成要素，及不等式中的恒成立问题，体现等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．