Question

17．已知f（x）=x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$，是否存在实数a，使f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞） 上单调递增？

Answer 1

分析 若存在实数a，使f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞） 上单调递增，则f′（2）=0，求出a值，分析函数的单调性，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：∵f（x）=x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）=2（x-$\frac{a}{{x}^{3}}$）=$\frac{2（{x}^{4}-a）}{{x}^{3}}$，
若存在实数a，使f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞） 上单调递增
则当x=2时，f′（x）=0，解得：a=16，
当x∈（0，2]时，f′（x）=$\frac{2（{x}^{4}-16）}{{x}^{3}}$≤0，f（x）为减函数，
当x∈（2，+∞） 时，f′（x）=$\frac{2（{x}^{4}-16）}{{x}^{3}}$＞0，f（x）为增函数，
故a=16

点评 本题考查的知识点是导数在研究函数单调性时的应用，难度中档．