Question

17．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）可得对称轴为x=1，可设f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）根据 f（x）在区间[2a，a+1]上是单调函数则对称轴应该在区间的左侧或在区间的右侧，从而可求出a的取值范围．

解答 解：（1）由已知，设f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3；
（2）二次函数的对称轴为x=1，
当对称轴在区间的左侧时，
函数f（x）在区间[2a，a+1]上单调递增，即2a≥1解得a≥$\frac{1}{2}$；
当对称轴在区间的右侧时，
函数f（x）在区间[2a，a+1]上单调递减，即a+1≤1解得a≤0，
综上，实数a的取值范围为（-∞，0]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，以及二次函数在闭区间上的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题..