Question

8．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两条渐进线的斜率之积为-3，左右两支上分别由动点A和B．
（1）设直线AB的斜率为1，经过点D（0，5a），且$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{DB}$，求实数λ的值．
（2）设点A关于x轴的对称点为M．若直线AB，MB分别与x轴相交于点P，Q，O为坐标原点，证明|OP|•|OQ|=a²．

Answer 1

分析 （1）求得AB的方程，双曲线的渐近线方程，联立直线和双曲线的方程，解方程可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，可得实数λ的值；
（2）设A（m，n），B（s，t），M（m，-n），P（p，0），Q（q，0），由三点共线的条件：斜率相等，可得p，q，再由A，B在双曲线上，满足方程，代入|OP|•|OQ|，化简整理即可得证．

解答 解：（1）设直线AB的方程为y=x+5a，
由渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可得b²=3a²，
双曲线的方程为3x²-y²=3a²，
代入渐近线方程可得，x²-5ax-14a²=0，
解得x=7a或-2a，
即有A的横坐标为-2a，B的横坐标为7a，
则λ=$\frac{0-（-2a）}{7a-0}$=$\frac{2}{7}$；
（2）证明：设A（m，n），B（s，t），M（m，-n），
P（p，0），Q（q，0），
由A，B，P三点共线可得，$\frac{n-t}{m-s}$=$\frac{-t}{p-s}$，
即有p=$\frac{ns-mt}{n-t}$；
由B，M，Q共线可得，$\frac{t+n}{s-m}$=$\frac{-t}{q-s}$，
即有q=$\frac{mt+ns}{n+t}$，
则有|OP|•|OQ|=|$\frac{ns-mt}{n-t}$•$\frac{mt+ns}{n+t}$|
=|$\frac{{n}^{2}{s}^{2}-{m}^{2}{t}^{2}}{{n}^{2}-{t}^{2}}$|，
由A，B在双曲线上，可得m²=a²+$\frac{1}{3}$n²，s²=a²+$\frac{1}{3}$t²，
代入上式，可得|$\frac{{n}^{2}{a}^{2}-{t}^{2}{a}^{2}}{{n}^{2}-{t}^{2}}$|=a²．
故|OP|•|OQ|=a²．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，同时考查直线方程和三点共线的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．