Question

20．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值为$-\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 如图所示，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$，设$|\overrightarrow{OP}|$=t≥0．可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$=$（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}）$•$\overrightarrow{OP}$=t²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=$（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$，
设$|\overrightarrow{OP}|$=t≥0．
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$=$（\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}）$•$\overrightarrow{OP}$
=${\overrightarrow{OP}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$
=t²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t
=$（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$
$≥-\frac{1}{8}$．
当t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时取等号，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值为-$\frac{1}{8}$．
故答案为：$-\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．