Question

10．已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-12x，且f（1）=-12，
（1）求函数f（x）的解析式和单调区间．
（2）求函数f（x）在[-3，1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式；令f′（x）＞0和令f′（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间
（2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

解答 解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，f′（1）=12+2a+b=-12．①
又x=1，y=-12在f（x）的图象上，
∴4+a+b+5=-12．②
由①②得a=-3，b=-18，
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5．
f′（x）=12x²-6x-18，
令f′（x）＜0，得：12x²-6x-18＜0，
可得-1＜x＜$\frac{3}{2}$，
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，$\frac{3}{2}$），
令f′（x）＞0，得：12x²-6x-18＞0，
可得x＜-1或x＞$\frac{3}{2}$，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（$\frac{3}{2}$，+∞），
（2）f′（x）=12x²-6x-18=0，得x=-1，x=$\frac{3}{2}$，
f（-1）=16，f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{61}{4}$，f（-3）=-76，f（1）=-13．
∴f（x）的最大值为16，最小值为-76．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．