Question

1．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，使DB=2$\sqrt{3}$，O，H分别为AE，AB的中点，平面BDE∩面DOH=l．
（1）求证：直线OH∥直线l；
（2）求证：平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求V_D-ABCE．

Answer 1

分析 （1）要证：直线OH∥直线l，只需证明直线OH∥面BDE，只需证明OH∥EB即可；
（2）要证：面ADE⊥面ABCE，只需证明DO⊥AE，DO⊥OB  即 DO⊥面ABCE即可；
（3）V_D-ABCE=$\frac{1}{3}$S_ABCE•DO，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵O、H分别为AE、AB的中点
∴OH∥BE，又OH不在面BDE内
∴直线OH∥面BDE．
∵平面BDE∩面DOH=l，
∴直线OH∥直线l；
（2）证明：∵O为AE的中点，AD=DE，
∴DO⊥AE，
∵DO=$\sqrt{2}$，DB=2$\sqrt{3}$，BO²=10
∴DB²=DO²+BO²
∴DO⊥OB
∵AE和BO是相交直线
∴DO⊥面ABCE，
又OD在面ADE内
∴平面ADE⊥平面ABCE；
（3）解：V_D-ABCE=$\frac{1}{3}$S_ABCE•DO=$\frac{1}{3}×（2+4）×2×\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三棱锥的体积，线面平行的判定，线面垂直和面面垂直的性质、判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键，考查了空间想象能力、推理论证的能力．