Question

6．某商场预计2018年第x月顾客对某种商品的需求量f（x）与x的关系近似满足：f（x）=-3x²+40x（x∈N^*，1≤x≤12）．该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=150+2x（x∈N^*，1≤x≤12），该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2018年第几月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？

Answer 1

分析 通过“利润=销售收入-成本”用x表示出利润，进而根据函数的单调性计算即得结论．

解答 解：利润y=[185-q（x）]f（x）
=[185-（150+2x）]（-3x²+40x）
=6x³-185x²+1400x，
令y′=18x²-370x+1400=0，
解得：x=5或x=$\frac{140}{9}$，
又∵x∈N^*，1≤x≤12，
∴x=5，
∴y在区间[1，5]上单调递增，在区间[5，12]上单调递减，
∴当x=5时，y取最大值6×5³-185×5²+1400×5=3125（元），
答：商场2018年第5月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为3125元．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．