Question

15．若tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{10}{3}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），则sin（2α+$\frac{π}{4}$）+2cos$\frac{π}{4}$cos²α的值为0．

Answer 1

分析 由条件求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简所给的式子，求得结果．

解答 解：∵tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{10}{3}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴tanα=3，或tanα=$\frac{1}{3}$ （舍去），
则sin（2α+$\frac{π}{4}$）+2cos$\frac{π}{4}$cos²α=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2αsin$\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}$•$\frac{1+cos2α}{2}$ 
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2α+$\sqrt{2}$cos2α+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\sqrt{2}$•$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{2tanα}{{tan}^{2}α+1}$+$\sqrt{2}$•$\frac{1{-tan}^{2}α}{{tan}^{2}α+1}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{6}{9+1}$+$\sqrt{2}$•$\frac{1-9}{1+9}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．