Question

5．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点F到渐近线和直线$x=\frac{a^2}{c}$的距离之比为2：1，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±2x

Answer 1

分析 利用已知条件求出双曲线的焦点坐标，列出方程得到ab的关系，然后求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：由题意双曲线的渐近线方程为：y=±$\frac{b}{a}x$，F（c，0）到渐近线的距离为：$\frac{cb}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
到直线$x=\frac{a^2}{c}$的距离为：c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{{b}^{2}}{c}$，
双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点F到渐近线和直线$x=\frac{a^2}{c}$的距离之比为2：1，
可得：b：$\frac{{b}^{2}}{c}=2$，可得c=2b，∴a=$\sqrt{3}b$，
双曲线的渐近线方程为：y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}x$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．