Question

13．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x₁，x₂∈D，当x₁+x₂=2a时，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx-3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）$+f（\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{4028}{2015}$）+f（$\frac{4029}{2015}$）的值为-8058．

Answer 1

分析 由已知得f（x）=x+sinπx-3的一个对称中心为（1，-2），由此能求出f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{4028}{2015}$）+f（$\frac{4029}{2015}$）的值．

解答 解：在f（x）=x+sinπx-3中，
若x₁+x₂=2，
则f（x₁）+f（x₂）=（x₁+x₂）+sin（x₁π）+sin（x₂π）-6
=2+sin（x₁π）+sin（2π-x₁π）-6
=-4，
∴f（x）=x+sinπx-3的一个对称中心为（1，-2），
∴f（$\frac{1}{2015}$）+f（$\frac{2}{2015}$）+f（$\frac{3}{2015}$）+…+f（$\frac{4028}{2015}$）+f（$\frac{4029}{2015}$）
=2014×（-4）+f（$\frac{2015}{2015}$）
=-8056+（1+sinπ-3）
=-8058．
故答案为：-8058．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦函数的性质的合理运用．